Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{2}{3} - \frac{i}{3}$

Paso 1

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 2

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a = \frac{2}{3}$ y $b = - \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4

Obtén $| z |$ .

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Paso 4.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Paso 4.6

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Paso 4.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Paso 4.8

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9}}$

Paso 4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 4}{9}}$

Paso 4.10

Suma $1$ y $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5}{9}}$

Paso 4.11

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{9}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Paso 4.12

Simplifica el denominador.

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Paso 4.12.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.12.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 5

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}})$

Paso 6

Como la tangente inversa de $\frac{- \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$ produce un ángulo en el cuarto cuadrante, el valor del ángulo es $- 0.4636476$ .

$θ = - 0.4636476$

Paso 7

Sustituye los valores de $θ = - 0.4636476$ y $| z | = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3 (\cos (- 0.4636476) + i \sin (- 0.4636476))}$